ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সের নানা ধরনের সার্কিটে অনেক সময়েই আমাদের বাইনারি সংখ্যা যোগ-বিয়োগ করতে হয়। এক বিটের বাইনারি যোগ এরকম:
১-এর সঙ্গে ১ -এর যোগফলে দুটি বিট এসেছে, এখানে ডান পাশের বিটটিকে আমরা যোগফল এবং বাম পাশের বিটটিকে বলতে পার ক্যারি। ক্যারি বিটটি নিয়ে আমরা আপাতত মাথা না ঘামিয়ে শুধু যোগফলের বিটটি নিয়ে আলোচনা করি। আমরা দেখেছি বুলিয়ানের যোগটিতে 1+1 করে আমরা 0 পাই না, 1 পাই। কাজেই বুলিয়ানের যোগ করার লজিক গেট AND কে আমরা বাইনারি যোগে ব্যবহার করতে পারি না। বাইনারির যোগে ব্যবহার করার জন্য Exclusive OR বা সংক্ষেপে XOR নামে আরেকটি লজিক গেট ব্যবহার করা হয়। এই গেটের সত্যক সারণী এবং প্রতীক 3.12 চিত্রে দেখানো হলো। সহজভাবে বলা যায় XOR গেটে ইনপুট দুটি ভিন্ন হলে আউটপুট 1, তা না হলে আউটপুট 01 X-OR গেটের লজিক xy + xy, তোমরা এটা পরীক্ষা করে নিশ্চিত হয়ে নাও।
ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে ব্যবহার করার জন্য XOR গেট আলাদাভাবে পাওয়া যায়। তবে আমরা ইচ্ছে করতে মৌলিক গেটগুলো ব্যবহার করেও XOR এর লজিক বাস্তবায়ন করতে পারি।
প্রয়োজনীয় কোনো গেট তৈরি করা হলে সাধারণত তার NOT গেটটিও তৈরি করা হয়। সেই হিসেবে X-NOR গেটটি বহুল ব্যবহৃত। XOR গেটের আউটপুটটির পর একটি NOT গেট বসিয়ে X-NOR তৈরি করা সম্ভব হলেও গেটের সংখ্যা কমানোর জন্য পাশের ছবিতে দেখানো উপায়ে এই লজিকটি পাওয়া সম্ভব।
যেহেতু NAND এবং NOR গেট সর্বজনীন গেট কাজেই মৌলিক গেট ব্যবহার না করে শুধু NAND অথবা শুধু NOR গেট ব্যবহার করে X-OR অথবা X-NOR এর লজিক বাস্তবায়ন করা সম্ভব। সর্বজনীন গেট ব্যবহার করে AND অথবা OR গেট বাস্তবায়নের সময় পদ্ধতিটি না দেখিয়ে সরাসরি উত্তরটি দেখানো হয়েছিল। এবারে আমরা NAND এবং NOR গেট ব্যবহারের পদ্ধতিটি দেখিয়ে তার জন্য প্রয়োজনীয় সার্কিট তৈরি করব।
উদাহরণ: শুধু NAND এবং NOR গেট ব্যবহার করে X-OR তৈরি কর।
উত্তর: আমরা জানি X-OR গেটের লজিক xy + xy, শুধু NAND গেট দিয়ে এই লজিক তৈরি করতে হলে ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে বুলিয়ান যোগ (+) কে বুলিয়ান গুণে (.) পাল্টে নিতে হবে। যেহেতু দুইবার পরিপূরক করা হলে লজিকের পরিবর্তন হয় না তাই আমরা লিখতে পারি:
দ্বৈত পরিপূরক ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে যোগকে গুণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হলে সেটি হবে:
ডি মরগান সূত্র এবারে আমরা সার্কিটটি এঁকে ফেলি।
শুধু NAND এবং NOR গেট ব্যবহার করে তৈরি X-OR কর।
একইভাবে শুধু NOR ব্যবহার করে X-OR তৈরি করতে হলে xy এবং xy, -এর ভেতরকার বুলিয়ান গুণকে ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে যোগে রূপান্তর করতে হবে।
এবারে সার্কিটটি এঁকে ফেলা যাবে।
(চিত্র 3.14)
উদাহরণ: শুধু NAND এবং NOR ব্যবহার করে X-NOR তৈরি কর।
উত্তর: আমরা আগের উদাহরণের প্রক্রিয়ায় শুধু NAND ব্যবহার করে X-NOR তৈরি করতে পারি। X-NOR এর লজিক হচ্ছে: xy + x y লজিক অপরিবর্তিত রেখে দ্বৈত পরিপূরক কর তাহলে আমরা পাই:
দ্বৈত পরিপূরক।
এবারে ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে যোগকে গুণে রূপান্তর করতে হবে।
ডি মরগান সূত্র
এখন সার্কিটটি এঁকে ফেলা যাবে।
একইভাবে শুধু NOR ব্যবহার করে X-NOR তৈরি করতে হলে xy এবং x y এর ভেতরকার বুলিয়ান গুণকে ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে যোগে রূপান্তর করতে হবে। X-NOR এর লজিক xy + x y অপরিবর্তিত রেখে দ্বৈত পরিপূরক করা হলে আমরা পাই:
দ্বৈত পরিপূরক এবারে ডি মরগান সূত্র ব্যবহার করে যোগকে গুণে রূপান্তর করতে হবে।
ডি মরগান সূত্র
দ্বৈত পরিপূরক করে আরো সহজে লেখা যায়:
দ্বৈত পরিপূরক। এবারে সার্কিটটি এঁকে ফেলা যাবে।